住宅ローンの繰上げ返済とお金の時間的価値

time decayの設定分岐点が何処かに存在して、その割引因子(Discount Factor)上でならば30年ローンの方が12年払いよりも得になるという机上の数値は出せるでしょう。その値自体は存在しえます。
しかし、もんんのすごくあったりまえの話ですがローンを売ってる側はそういった数値設定が一般人よりも得意であるからこそ商売として成り立っているので長期ローンの方が短期よりも最終的に割安になるという状況は現実的に存在し得ないに等しいレベルで皆無だと思いますよ。だって将来のCash Flowを正しく導き出すために(各々の会社が)Discount Factorを設定して、その結果を元にローン利率を決めてるのですから。
まさに机上の空論ではありませんかね、そのAさんの話は。

というか"Time Value of Money"って、突き詰めればBさんが言ってる話そのものなのですが、Aさんとやらはそれを否定してるということですか？
Time Value of Moneyは「現在の$1と将来の$1の価値は違う。なぜなら現在の$1は、その将来という時間までに利益を生み出すポテンシャルがあるのにも関わらず、将来の$1はそのポテンシャルがない」ということを意味するのが普通だと思いますが。
Time Value of Moneyで割引(Discount Factor/Discount Rate)の話を引き出す人は初めて見た気がします(笑

ちなみに私は専門家でも何でもないので間違ってる可能性は大です(笑

まず、元の12年で払い終わるために追加で払うのは$1,275ではなく、$1,175ではないかと思います（僕の計算が間違っていなければ）。

一定金額を住宅ローン（元本＋利息）と自由に使えるとして毎月、$2,785が入ってくるとします（給料のうち、それだけを別に分けると考えれば良いと思います）。それを30年ローンにする場合は返済に$1,610使い、残りは自由に使えるお金が毎月$1,175残ります。もし12年で繰り上げ返済する場合は、最初の12年間は毎月自由に使えるお金は全くなし、その代わりローンを払い終わったら１３年目以降は毎月$2,785まるまる自由に使えます。

その自由に使えるお金の現在価値を住宅ローンと同じ5%のDiscount Rateで計算すると、どちらの現在価値も同じになります。ローンの利率とDiscount Rateが一緒だから、それをどの時点でどのように払っても、現在価値は同じ利率でDiscountするので、結果は同じ、という感じです。Aさんが１４４ヶ月で返済した時のローン支払額の現在価値が３６０ヶ月と同じにならないのは、上記で示した通り、毎月の追加の返済金額の$1,275が間違っているからじゃないかと思います。

ここに利息の税金控除を計算に入れます。すると、毎月自由に使える実質のお金は30年で支払う場合、節税分だけ近い未来により多く、遠い未来には少なく増えることになります。繰り上げ返済すると控除の分増えるはずの自由に使えるお金が12年で途切れ、しかもその控除の金額は30年で払うよりも少なくなります。それを現在価値に計算すれば30年ローンにしたほうが、将来のCash Flow全体の現在価値は増えることになります。

ということで、上記の数字だけを考えれば、30年ローンのほうが「得」なように思えます。ただ、果たして本当にお得なんでしょうか？

僕は現在価値の計算にローン利率と同じDiscount Rateを使うのは議論の余地があると思います。勉強中さんが指摘している通り、自由に使えるお金があってもそれを銀行にあずけても同じ利率はつかないからです。ただ、例えば家を買う頃って家族が増えたりで支出も多く、ちょっとでも自由に使えるお金があったほうがありがたいというのは事実です。その自由に使えるお金のために住宅ローンを借りているんだからDiscount Rateは住宅ローンと同じ率で良いという議論もありかもしれません。

また、税金控除は実際にはそれほど多くありません。利息金額すべてが控除になるのではなく、他の控除と合わせて標準控除を超えた分だけしか節税効果はありません。ですから、多くの人は30年で返済しても控除が意味があるのは最初の１０年ほどくらいかもしれません。そうすると繰り上げ返済との節税効果の差は元の掲示板で書かれている金額ほどは多くありません。

逆に働き盛りのうちに繰り上げ返済して、リタイアする頃にはローンもなくなっていて、毎月自由に使えるお金のほうが価値がある、と思う人もいるでしょう。あるいは住宅価値が下がった時にローンが残っていて逆ざやが発生するような状況を嫌う人も多いでしょう。それであれば繰り上げ返済したほうが安心感という意味では価値が高くなります。将来にCash Flowがある方がより価値がある（＝Discount Rateを低く考える）のであれば、繰り上げ返済のほうが現在価値が高くなります。

ということで、結局はその人が「今、自由にお金が使える方が良い」と考えるか、「将来、お金がある方が良いか」と考えるかで、現在価値が高くなるのはどちらでもありえると思います。数字的に言えばDiscont Rateをいくらに設定するかでどちらにでもなるということです。

あと、私の理解では Time Value of Money とはつまり、将来のお金を現在価値にするときにDiscount Rateを使って計算することそのものだと思います（昔のFinanceの教科書を捨ててしまったので自信なしですが）。

あれって思ってググって壮大に自分が用語間違いをしてるのに気付きました(笑
全然違う事をdiscount rate/factorに思い浮かべてました。私のコメントは無視して下さい。書く前にググって確認しろってやつですね。
失礼致しました～

> 12年目で双方が置かれる状況は：
> 30年払い-元本残高$229,075、利息$160,981、余剰金$169,200(PV $92,975)

> さらに計算を続けて30年目の状況は：
> 30年払い-利息$279,770、余剰金$423,000 (PV $94,678)
> 12年払い-利息$98,983、余剰金$601,560 (PV $134,645)

これらのPVはどういう計算によるものでしょうか？たとえば30年払いの30年目の数字は、表計算でいうところのPV(0.05/12,12*30,0,423000)でしょうか？もしそうなら、これは余剰金が最終年にまとめて払われたとしてそれを一斉に割り引いた値ですが、実際には余剰金は毎月定額ずつ積まれていくので、表計算的にいえばPV(0.05/12,12*30,-1175,0)が正しい式のはずです。12年払いの30年目の例は余剰金の発生が均等でないのでもう少し複雑ですが、正しい式を使って計算すると、どちらのPVも約$216870で等しくなります。

また、これらの場合はローン利率と割引率が等しいので、Nobuさんが「どの時点でどのように払っても、現在価値は同じ利率でDiscountするので、結果は同じ、という感じ」とおっしゃっていたように、本来は計算するまでもなく同じになるのが正しいです。同様に、余剰金のことを考えるまでもなく、さらに言えばPVを持ち出すまでもなく、利率が同じである以上は投資効率という意味ではどのようにローンを返済するとしても損得はありません。

この例が適切かわかりませんが、私なりの方法で説明してみますと、利率5%のローンで$300Kの借金をして住宅を買った場合に、ただちにその家を$300Kで売却し、「引き出し額をローン支払いに当てる限り5%の金利をつける」銀行に預けて運用するとします。この銀行から毎月$1610ずつ引き出して全額ローン返済にまわすと、30年でローンは完済し、銀行の残高はゼロになります。毎月$2785ずつ引き出してローン返済にまわすと12年で同じ状態になります。いずれの場合でも、最初の$300Kの売買の後は本質的に銀行とローンの貸し手の間でお金のやり取りがあるだけで、自分の(本質的な)バランスシートやキャッシュフローに違いはありません。

この架空の銀行の例は荒唐無稽に見えるかもしれませんが、固定利率のローンは利払いのためのキャッシュフローが確保できる限りその利率が約束された運用と同じことですので、実はそれほど現実の状況と変わらないはずです。とくに、給料その他比較的信頼できる収入源によって毎月の利払いを問題なくこなせるとすれば、投資行動としての損得はまったく同等です。したがって、ローンの期間(およびそれから決まる毎月の返済額の多寡)によって30年ローンと12年ローン(あるいはその他どの長さのローンでも)に損得があるとすれば、まず第一にはこのキャッシュフローを確保するためのリスクの差になるでしょう。これは、単純にローンの期間によっては決定されないと思います。給料は高めだけど浮き沈みの激しい業界で働いているというような人や、リタイアまで間もないというような人であれば、毎月多めの額を返済に回すことは問題なくても、長期の支払い期間の間に職と収入を失うリスクの方が重大かもしれません。一方、職は安定しているけど給料が安いという人なら、長期間の低めの支払いには耐えられるけど突発的な出費とローン返済支出で赤字になるリスクの方は深刻ということも考えられます。

その上で、

> 30年払いが12年払いを超えるためには、やはりBさんがコメントしていた「繰り上げ返済しない方がお得になるのは、繰り上げ返済せずに手元に残ったお金を住宅ローンの金利以上の利回りで運用できるといった場合

は正しいかと思います。ただし、上記のように利率が同じなら本来損得は同等なので、「手元に残るお金がないか、残ったお金を住宅ローンの金利と同じ利回りで運用するなら損得なし、手元のお金を住宅ローン金利以上の利回りで運用できる場合は長期の方が得、そうでなければ短期の方が得」という方がより正確でしょう。そして、ここでは単なる例として挙げられていた「5%」が強調されていますが、いまなら30年の固定金利でももう少し安いのではないでしょうか？私はローンの実務にはまったく詳しくありませんが、いま手元でグーグルしたところでは4%前後のようです。固定金利ローンの返済は(支払い能力に障害がない限り)無リスクの投資といっていいですから、同等のリスクでそれを超える利回りを出すのはいまの時点では難しいでしょうが、この先金利が上がれば長期の国債あたりだとないとも言えないかもしれません(もっとも、実際のローン利率はそういう点の見込みも折り込まれて決定されているでしょうから、とくに運用に長けているわけでもない一般人がその上をいけるほど甘くはないことも多そうです)。

「Aさん」の説明は、(断片的な引用のせいもあるような気がしますが)私には不可解な部分もかなりあります(そして既に指摘されているように一部の点では明らかに間違っています)が、「総支払額だけを見ると長期のローンの方が損に見えるかもしれないけど、同じ利率なら実は損得に違いはない」という点については正しいと思います。税金の控除の効果を考えると長期の方が得だという点も正しいですね。

私が示したPVの計算は、余剰金を運用した結果の価値についてのものではありません。Nobuさんのコメントにあった「その自由に使えるお金の現在価値を住宅ローンと同じ5%のDiscount Rateで計算」のことです。

> カッコ内のPVはAさんの仮定にある割引因子5%を使いました。

とあったのでこれのことかと思ったのですが、

> 30年払いの余剰金$423,000も、12年払いの余剰金$601,560も、どちらのタンス預金です。一切運用しないで、毎月Aさんの仮定（12年払いの追加は$1,175に変更）の決まった余剰金をタンスの引き出しに入れていったら30年後に貯まる金額を、Present Value Calculatorに入れてPVを割り出しました。ですから余剰金にローン利子の5%はかかりません。余剰金にかかるのは割引因子の5%のみです。

余剰金をタンス預金をした場合の投資効果をPVで測るという趣旨だったのなら、割引因子は5%ではなく、0であるべきでしょう(一般的な意味でPVによる比較もするなら、インフレ分の目減りも割り引く必要があるでしょうが、この話では全般的にインフレ効果は無視して投資効率だけを割引要素としているようですので)。したがってこの場合はPVは30年後の残高に等しくなり、差分は$40Kではなく、$178Kです。

運用に回す余剰金がある場合には、その運用利回りがローン利率より高ければ長期ローンの方が得だし、低ければ短期ローンの方が得だというのは私自身の前のコメントでも書いた通りで、タンス預金では運用利回りが0なので短期の方が(著しく)有利になるのは当然です。また、一般的にいって、ほぼ無リスクであるローン利率を上回る運用利回りを、運用自体のリスクも考慮した上であげるのは簡単ではないだろうということから、長期ローンにした場合を有利にできる人は多くはないというのも実情でしょう(このことも前のコメントで書いたつもりです)。

ただ、そもそも「運用に回す余剰金がある(この例では毎月$2785の自由になるお金が30年間安定的に入ってくる)」という条件自体が説明の便宜上のものですよね。上で示した計算は、この条件のもとで、それほど運用に長けている訳でもない人に取っては長期ローンで得するのは難しいだろうというだけのことです。現実にこれからローンを考える人にとっては、「自由にできる」お金の見込みがどうであるかがもっとも重要な要素で、それ次第で長期が有利なこともあれば短期が有利なこともあって、単なる期間の長短や運用能力の巧拙でどちらが有利とはいい難い、というのが私のいいたかったことです。

> 私の理解では、Aさんは余剰金の運用成績には全く触れておらず、ただ単に住宅ローンを払いきらないほうが、繰上げ返済をするより確実に得と強く主張しているので、何か重要なことを見落としているのかもしれないと思い、こちらで相談させていただきました。

(税金控除の効果のことでないとすれば)「確実に得」はあり得ないと思います。その意味では見落としはないというのが私の理解ですが、そもそも一般的には(個々人のキャッシュフローの事情により)余剰金があるとは限らないわけですから、余剰金の運用を議論に含まずにローンだけを投資として見たときの損得を論じるのは一理あると思います。そして、その場合には、$180K以上の支払い額の差があろうとも、投資効率としての損得の差はありません。これは一見直感に反するので、「Aさん」はそのことを強調したかったのではないでしょうか(もとの発言全体は見てないので推測ですが)。

まず、一つ前の勉強中さんの発言に戻ってコメントします。

「30年払いの余剰金$423,000も、12年払いの余剰金$601,560も、どちらのタンス預金です。一切運用しないで、毎月Aさんの仮定（12年払いの追加は$1,175に変更）の決まった余剰金をタンスの引き出しに入れていったら30年後に貯まる金額を、Present Value Calculatorに入れてPVを割り出しました。」

この部分ですが、そういう計算自体はPVの計算では余り意味が無いというか、PVの考えを正しく当てはめていないと思います。PVとは、あるCash Flowと別のCash Flowで金額やら時期（例えば毎月一回と、１年に一回）が違うものを、どっちが得か比べたい、何とかならないか？という質問に答えるためのものです。例えば親戚の子供に「毎年、お年玉を正月に１万円、１５年間あげる」のと、「成人したらその時に２０万円あげる」のと、その子にとってどちらが得かというのは、その子がPVの計算方法を知っていれば答えることができます。子供だったら誰でも直感で分かる通り、「今すぐ使えるお金のほうが良い」と思って毎年のお年玉を選ぶと思うのですが、それを「絶対成人するまでタンス貯金しなければならない」と言われたら、それはもらった事にはならず（だって自由に使えないから）、それなら成人の時に２０万円もらうほうが得とわかります。「自由に使えるお金」と書いたのは、自由に使えなければ現在価値の計算には使えません。

つまり、上記で引用した勉強中さんの発言では毎月「余剰金」という形で私が示した例を、さらにタンス貯金してしまって３０年後にもらえることにしているので、PVの意味が全くなくなってしまっています。「タンス貯金」という行為そのものがPVの意味をないものにしてしまっています。

ですので、もし勉強中さんが直前の発言で書いてある
「将来得るであろうタンス貯金の金額を現在のお金の価値に直すと、将来が遠い未来になればなるほど現在価値は下がっていくというのが私の理解なのですが、やっぱり根本的に間違っているのでしょうか？」
というのは遠い未来ほど現在価値は下がっていくというのは正しいのですが、そうさせているのは「タンス貯金」という行為をするからです。

まぁ、正直に言ってしまうと、住宅ローンの支払い方に現在価値を持ちだしても、数字をこねくり回しているだけで、数字遊びとしては面白いのですが（久しぶりにPVなんて計算しましたし）、それ以上の意味は無いと思います。繰り上げ返済するかどうかの判断は別の要素で判断するほうが良いと思います。

将来得るであろうタンス貯金の金額を現在のお金の価値に直すと、将来が遠い未来になればなるほど現在価値は下がっていくというのが私の理解

これは正しいと思いますが、問題はそのdiscount rateをいくらにするのかという点についてです。

30年後に得られた運用結果$601560を現在の価値に直した値がXということは、Xをある利回り(=discount rate, このトピックではdiscount rateを決めるのは運用利回りだけだという仮定があるようなので)で30年運用したときに$601560になるということですよね。この利回りをどう決めるのが妥当かは文脈によって変わり得ますが、ここでは運用が利回り0のタンス預金だとわかっているので、discount rateを決める利回りも0でないと辻褄があいません。

ところで、Nobuさんもコメントで書いておられましたが、PVによる比較が有効なのは、異なる時点でのキャッシュフロー同士のどちらが得かを知りたいというのが主な場合(というのが私の理解)なので、同じ30年後に得られた運用結果である$601560および$423000のどちらが得かを知りたいだけならPVの意味はありません(どちらが「どのくらい得か」を現在の金銭感覚で掴みたいという意図には答えてくれますが、これもdiscount rateが現実離れした値だと無意味ですよね)。

私自身technicalなところについ反応してしまいましたが、実際のところ、もともとの話の中で、PVによる比較に意味がある部分はほとんどないように思えます。とくに、ローンの支払い総額をローン利率で割り引くという計算にはまったく意味がない(計算するまでもなく元金に等しいに決まっているから)ですし、利率(=discount rate)が同じなのに期間によってそれが異なるという「Aさん」の話は明らかにおかしいです。

PVを使う意味がある箇所があるとすれば、毎月$2785の自由に使えるお金が30年安定して入ってくるというモデルにおいて、ローンにまわさずに手元に残したお金の合計の価値を比較したい場合くらいでしょうか。この場合、すでにわかっているように、ローン利率(5%)と割引率の大小によってどちらの残し方(=どちらのローン)が得かが決まります。

ただし、こういう場合の割引率として何が適切なのかは私にはよくわかりません(ファイナンスの専門家なら定番の考え方をお持ちかもしれません)。ローン返済の原資としては一般的と思われる勤務先からの給与のような場合、通常の意味での投資とは違いますから、たとえば長期金利のような値が適切とも言えないように思います。職が安定しているならリスクフリーと同等だと考えて長期金利などを使っておいてもいいのかもしれませんし、一方、実体のない「人的資産」からかなりの額のキャッシュフローが生み出されることを考えると、案外高い利回りと言えなくもないかもしれません。