株口座

銀行や証券会社を介して株式を保有しておられるのでしたら、口座のある金融機関に問い合わせてみられるのがよいと思います。会社によっては、アメリカ国内に住所がないとダメ、とか言うかもしれません。継続して株式を保有なさりたい場合は、海外住所、外国人でもOKという会社（具体的にどこが良いのかは、寡聞にして存じませんが）に口座を移されるとよいと思います。

株の口座を維持すること自体はF Friesさんが書いていらっしゃるとおりで、金融機関によると思います。

日本にいても保有継続できるかというご質問でしたから金融機関が許可すれば「できる」ですが、税金がどうなるかと言えば、日本に住んでいる時点で日本での課税対象に(既に）なっています。配当金（Dividend)があれば日本の確定申告で税金を払う必要がありますが、金額にもよります。また永住権を保持していると言うことですから米国でも納税義務もあります。売却益が発生した場合も同様です。但し、これはForeign Tax Creditである程度は軽減されると思います。

永住権を放棄した場合は2つ、考えられます。

もしFineさんの資産が一定額を超えていたら、永住権を放棄した時点でアメリカの資産に対して見なし課税される可能性があります。見なし課税とは永住権を放棄した時点であたかもすべての資産を売却したかのように計算して課税するものです。永住権保持者が外国に「逃げて」税金を払う義務を免れるのを防ぐためです。

もし資産額が多くなければ、特にアメリカで税金は発生することなく、最終的に株を売却したときに日本で課税対象となるだけです。